Clase 19-11-25 - Conjunto potencia & Noriega

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Recordemos que, si $A$ es un conjunto cualquiera, el conjunto de partes de $A$ (conjunto potencia) es: $\mathbb{P}(A)=\{X:X\subseteq A\}$

Ejemplos:

1. Si $A=\varnothing$, $\mathbb{P}(A)=\{\varnothing \}$.

$$\begin{array}{c}(X\in \mathbb{P}(A)\iff X\subseteq A)\\ Definici\acute{o}n-Clave\end{array}$$

2. Si $A=\{a\}$, $\mathbb{P}(A)=\{\varnothing ,\{a\}\}$.
3. Si $A=\{a,b\}$, $\mathbb{P}(A)=\{\varnothing ,\{a,b\},\{a\},\{b\}\}$.

Propiedad: Si $A$ es un conjunto finito, entonces: $\#\mathbb{P}(A)=2^{\#A}$ Intuitivamente, supongamos que $A$ tiene $n\in \mathbb{N}$ elementos ($\#A=n$). $A=\{X_1,X_2,...,X_n\}$ Tomando $X_1\in A$, $\mathbb{P}(A)$ tiene: $\varnothing ,\{X_1\}$ ($2^1$). Tomando $X_2\in A$, $\mathbb{P}(A)$ tiene dos elementos más ($4=2(2)=2^2$): $\{X_2\},\{X_2,X_1\}$ Tomando ahora $X_3\in A$, $\mathbb{P}(A)$ tiene 4 elementos más, éstos son: $\{X_3\},\{X_3,X_1\},\{X_3,X_2\},\{X_3,X_2,X_1\}$Hasta aquí, $\mathbb{P}(A)$ tiene: $4+4=8=2^3$. Siguiendo con ese proceso, llegaremos a que $\#\mathbb{P}(A)=2^4$.

Teorema: Sean $A$ y $B$ dos conjuntos. $A\subseteq B\iff \mathbb{P}(A)\subseteq \mathbb{P}(B)$.

Demostración

($\Rightarrow$) Como $\mathbb{P}(A)\ne \varnothing$, posee al menos un elemento. Sea $X\in \mathbb{P}(A)$, por definición del conjunto de partes $X\subseteq A$, además $A\subseteq B$ (por hipótesis) lo que implica que $X\in B$, nuevamente por definición de $\mathbb{P}(B)$, esto quiere decir que $X\in \mathbb{P}(B)$. Como $X$ es un elemento arbitrario de $\mathbb{P}(A)$ entonces $\mathbb{P}(A)\subseteq \mathbb{P}(B)$. ($\Leftarrow$) Por definición del conjunto de partes, sabemos que $A\in \mathbb{P}(A)$ y por hipótesis, $\mathbb{P}(A)\subseteq \mathbb{P}(B)$, lo que implica que $A\in \mathbb{P}(B)$, por lo tanto $A\subseteq B$ por definición de conjunto.

Proposición: $A$ y $B$ conjuntos:

$$\begin{array}{c}\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cap \mathbb{P}(B)\\ \mathbb{P}(A)\cup \mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A\cup B)\end{array}\text{\hspace{1em}(i)(ii)}$$

Demostraciones:

$$\begin{array}{r}X\in \mathbb{P}(A\cap B)\iff X\subseteq A\cap B\\ \iff (X\subseteq A)\wedge (X\subseteq B)\\ \iff (X\in \mathbb{P}(A))\wedge (X\in \mathbb{P}(B))\\ \iff X\in \mathbb{P}(A)\cap \mathbb{P}(B)\end{array}\text{\hspace{1em}(i, def)(def)(def)(def)}$$

luego, $\mathbb{P}(A\cap B)=\mathbb{P}(A)\cap \mathbb{P}(B))$.

$$\begin{array}{r}X\in (\mathbb{P}(A)\cup \mathbb{P}(B))\iff (X\in \mathbb{P}(A))\vee (X\in \mathbb{P}(B))\\ \iff (X\subseteq A)\vee (X\subseteq B)\\ \iff X\subseteq (A\cup B)\\ \iff X\in \mathbb{P}(A\cup B)\end{array}\text{\hspace{1em}(ii, def de U)(def. P)}$$

Notemos que si $X\subseteq A$ o $X\subseteq B$ entonces se tienen dos casos posibles (dem. por casos): $(p\vee q\to r\equiv (p\to r)\wedge q\to r)$

1. Si $X\subseteq A$ entonces ${\forall }_x\in X:$
   1. $x\in A\vee x\in B$ es verdadero por lo tanto $x\in (A\cup B)$.
2. Es análogo.

Ejercicio

Probar que $A\subseteq A\cup B$, y también $(A\cap B\subseteq A)\wedge (A\cap B\subseteq B)$

Observación (por contraejemplo)

Notemos que $X\subseteq (A\cup B)\nRightarrow (X\subseteq A)\vee (X\subseteq B)$

$A=\{1,2\};B=\{2,3\};A\cup B=\{1,2,3\}$.

Sea $X=\{1,2,3\}\subseteq A\cup B$. Este conjunto es tal que $X\not\subset A$ y $X\not\subset B$. Por lo tanto $X\in \mathbb{P}(A\cup B)$ pero $X\notin \mathbb{P}(A)$ y $X\notin \mathbb{P}(B)$.

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Paradoja de Russell

“El conjunto de todos los conjuntos no es un conjunto”

En la expresión $\mathbb{P}(A)=\{X:X\subseteq A\}$. El universo $\mathcal{U}$ de discurso no está dado implícitamente, sino que en realidad no lo conocemos. Para no fundamentar nuestra teoría en una idea paradójica, la sustentaremos en el siguiente Axioma:

Axioma de las potencias

“Para todo conjunto A, existe otro conjunto, $\mathbb{P}(A)$, tal que $\forall X\in \mathbb{P}(A),X\subseteq A$”

Así, asumimos la existencia de tal conjunto. Nótese que, no nos interesa $\mathcal{U}$, sino solamente A, ya que con sus elementos construimos $\mathcal{P}(A)$. Una forma de construir la Teoría de Conjuntos es a través del método Axiomático (Axiomas de Zermuelo-Fraenkel)