Principio de buen orden (N, ≤)

Descargo de respnsabilidad

Este documento contiene mis notas personales tomadas durante las clases. Importante tener en cuenta que estas notas representan mi interpretación del material presentado y pueden contener errores o entendimientos parciales.

NO deben ser consideradas como una fuente definitiva o un reemplazo de los materiales de clase, las lecturas asignadas, o las explicaciones del profesor. Eres responsable de siempre verificar la información y consultar con el profesor si tienes alguna duda.

No me hago responsable de cualquier malentendido o error que pueda surgir de la lectura de estas notas.

Sea $C$ un conjunto de números naturales, diremos que $m$ es el mínimo de $C$ si se verifican las dos condiciones siguientes:

1. $m\in C$
2. Si $n\in C$, entonces $m\le n$

Nota importante

Todo conjunto tiene a lo sumo un elemento mínimo. Pues si $m$ y $m^{\prime }$ son tales que cumplen 1) y 2), se tiene que $m_1,m_2\in C$, $m_1\le m_2$ y $m_2\le m$, y por lo tanto $m_1=m_2$

Principio de buena ordenación

Todo conjunto no vacío de números naturales tiene un elemento mínimo.

Ejemplo: Considere que se realiza un experimento donde participan estudiantes. Cada estudiante lanza una moneda 100 veces y anota el número de veces que salió “cara”. Definimos

$$C=\{n\in \mathbb{N}:n\text{es el numero de veces que obtuvo cara alguno de los estudiantes}\}$$

Por lo tanto, $C=0,1,2,3,...,100$. A partir de hoy $0\in \mathbb{N}$. $C\ne 0$ pues algún estudiante obtiene algún resultado.

Truquito

No es necesario tener que encontrar el número exacto, con solo demostrar que el conjunto no es vacío te sirve.

Se dice que $m$ es el máximo o último elemento de un conjunto $C\subset \mathbb{N}$ si se cumplen las siguientes condiciones:

1. $m\in C$
2. Si $n\in C$, entonces $n\le m$.

Diremos que un conjunto $C$ de números naturales es acotado superiormente si existe un número natural $P$ tal que ${\forall }_n\in C$, $n\le P$. Este elemento $P$ se conoce como cota superior de $C$.

Nota

Decir que $P$ es cota superior de $C$ es equivalente a decir que $C\subset 0,1,2,3,...,P$.

Observaciones

1. Si $m$ es el máximo de un conjunto $C$, entonces $m$ es cota superior de $C$.
2. Si un conjunto tiene una cota superior, entonces tiene muchas cotas superiores. Pues si $P$ es una cota de $C$; $P+1$, $P+2$, $...$ ; también son cotas superiores.

Ejemplo: Sea $C=\{n\in \mathbb{N}:n<24\}$. 23 es el máximo; 23,24,25 son cotas superiores. 0 es el mínimo.

Teorema: Todo conjunto de números naturales que sea acotado superiormente tiene un máximo.

Demostración: Sea $C$ un conjunto de números naturales no vacío y acotado superiormente. Considere el siguiente conjunto:

$$A=\{n:n\text{es una cota superior de}C\}$$

$A$ es no vacío, pues por hipótesis, $C$ es acotado superiormente. Por el principio de buen orden $A$ tiene mínimo. Sea $m$ el mínimo de $A$. Cómo $m\in A$, $m$ es una cota superior para $C$.

Así que todo elemento de $C$ es menor o igual a $m$. Todo lo que resta probar es que $m\in C$.

Apliquemos reducción al absurdo para ver esto. Supongamos que $m\notin C$. Cómo $m$ es cota superior para $C$, ${\forall }_n\in C$, $n<m$. Por tanto, ${\forall }_n\in C,n\le m-1$.

Esto dice que $m-1$ es una cota para $C$, lo que contradice que $m$ es la mínima cota superior de $C$ pues $m-1<m$.

Variantes del principio de inducción