Sucesiones

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Las funciones que tienen dominio $\mathbb{N}$ reciben el nombre de sucesiones. Una sucesión sobre un conjunto $A$ es una función $f:\mathbb{N}⟶A$ que asignan a cada número natural un elemento de $A$.

Ejemplos:

1. La sucesión de números: $2,4,6,8,10,...$ podemos verla como $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N},f(n)=2n$.
2. Consideremos $1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},...$ podemos verla como $\frac{1}{2^{n-1}}:n\in \mathbb{N}$. Este conjunto lo podemos ver como el rango de la función $f:\mathbb{N}⟶Q$ definida por $f(n)=\frac{1}{2^{n-1}}$.

Las sucesiones suelen verse como una lista etiquetada de objetos donde las etiquetas sean los números naturales. Es usual de notar las etiquetas con subíndices, ejemplo:

$$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,...$$

Donde $a_1$, es el primer elemento de la sucesión, $a_2$ el segundo, etc. En general $a_n$ es el $n$-esimo elemento ($f(n)=a_n$). Al elemento $a_n$ se le llama usualmente término general de la sucesión $\{a_n{\}}_{n\ge 1}$. ($(a_n{)}_{n\ge 1}$)

Ejemplo: Asignado el numero $1$ el $4$, al número $2$ el 5, al $3$ el 6, en general, al número $n$ asignamos $n+3$, obtenemos:

$$4,5,6,7,8,...$$

$\{a_n{\}}_{n\ge 1}$ donde $a_n=n+3$.

Si $f:\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$ está definida por $f(n)=3$ obtenemos

$$3,3,3,3,3,...$$

es decir, $a_1=3,a_2=3,a_3=3,...,a_n=3$.

Sumatorias y Productorios

Una manera de abreviar sumas en matemática es con el símbolo $\Sigma$ (que se lee Sigma). Definimos:

$$\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+a_2+a_3+...+a_n$$

Por ejemplo:

$$\begin{array}{c}\sum _{i=1}^3{a}_i=a_1+a_2+a_3\\ \sum _{i=1}^1{a}_i=a_1\\ \text{Considere la sucesioˊn}{a}_i=i+1\text{para}i\ge 1\\ \text{Entonces}\sum _{i=1}^4{a}_i=\sum _{i=1}^4(i+1)=(1+1)+(2+1)+(3+1)+(4+1)\\ \text{Si}{a}_i=1\text{para}i\ge 0\\ \sum _{i=1}^7=1+1+1+1+1+1+1=7\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)(3)(4)}$$

También hay una notación similar para abreviar el producto. Usaremos el símbolo $\Pi$ (pi mayúscula).

$$\text{Definimos}\prod _{i=1}^n{a}_i=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n$$

Ejemplo:

$$\begin{array}{c}\prod _{i=1}^4{a}_i=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot ...\cdot a_n\\ \text{Considere la sucesioˊn}{a}_i\text{dada por}{u}_i=i+1\text{para}i\ge 1\\ \text{Entonces}\prod _{i+1}^3=(1+1)(2+1)(3+1)=24\\ \prod _{i=1}^{n}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot ...\cdot n=n!\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)(3)}$$

En el ejemplo (3) tenemos la definición del factorial de un número natural. Ejemplo:

$$6!=\prod _{i=1}^{6}i=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6=720$$

Con la convención de $0!$ = 1.

Inducción Matemática

Presentamos el esquema de una demostración por inducción:

• Proposición: Las proposiciones $P(1),P(2),P(3),...P(n)$ son todas verdaderas.
• Demostración: (Por inducción):
  1. Se demuestra que $P(1)$ es verdadera.
  2. Dado $K\ge 1$, se demuestra que $P(K)⟹P(K+1)$ es verdadera. Se sigue, por inducción matemática, que $P(n)$ es verdadera

El primer paso, (1), se llama paso inicial. El paso (2) se llama paso inductivo. En este segundo paso se hacer por lo general una demostración directa de $P(K)⟹P(K+1)$. La hipótesis de que $P(K)$ es verdadera se hace llamar hipótesis inductiva.

Ejemplo:

Conjetura: $1+3+5+7+...+(2n-1)=n^2$ para $n\in \mathbb{N}$.

Ajustando el equema:

Proposición: $P(1),P(2),P(3),...$ son todas verdaderas Demostración: (Por inducción)

1. Como $i^2=1$, $P(1)$ es verdadera.
2. Dado $K$, queremos demostrar $P(K)⟹P(K+1)$ lo haremos por el método de demostración directa. Supongamos que $P(K)$ es verdadera, es decir: $1+3+5+7+...(2K+1)=K^2$ y demostremos que: $1+3+5+7+...+(2(K+1)-1)=(K+1{)}^2$ Ahora, $1+3+5+7+...+(2(K+1)-1)=1+3+5+...(2K-1)(2K+1)$ \begin{gather*} = 1 + 3 + 5 + \ ... \ + (2K - 1) + (2K + 1) \\ = K^2 + 2K + 1 = (K + 1)^2 \end{gather*} En consecuencia, $P(n)$ es verdadera para $n\in \mathbb{N}$.