Números enteros - Demostraciones

Esta guía es un esbozo muy temprano!

Esta guía está siendo construida por la administración en el poco tiempo libre que tienen. Hay comentarios ocultos en esta guía para los editores.

Desigualdad triangular

Nota

Esta es una demostración “informal”, es decir, no está hecha para ser concisa sino para ser lo más clara posible

Caso 1: Ambos tienen el mismo signo ($a,b\ge 0\vee a,b<0$)

Sean $a,b\in \mathbb{Z}$; Por definición de valor absoluto, tenemos que $|a|=a$ y $|b|=b$. Reemplazando en $|a+b|\le |a|+|b|$:

$$\begin{array}{c}|a+b|\le a+b\\ a+b\le a+b\\ a+b=a+b\end{array}$$

Lo mismo aplica con $|a|=-a$ y $|b|=-b$:

$$\begin{array}{c}|a+b|\le (-a)+(-b)\\ (-a)+(-b)\le (-a)+(-b)\\ (-a)+(-b)=(-a)+(-b)\end{array}$$

Por lo tanto, $|a+b|=|a|+|b|$.

Caso 2: Signos diferentes ($a\ge 0,b<0$)

Nota