Conjuntos

Descargo de respnsabilidad

Este documento contiene mis notas personales tomadas durante las clases. Importante tener en cuenta que estas notas representan mi interpretación del material presentado y pueden contener errores o entendimientos parciales.

NO deben ser consideradas como una fuente definitiva o un reemplazo de los materiales de clase, las lecturas asignadas, o las explicaciones del profesor. Eres responsable de siempre verificar la información y consultar con el profesor si tienes alguna duda.

No me hago responsable de cualquier malentendido o error que pueda surgir de la lectura de estas notas.

¿Qué es un conjunto?

Recordemos que un conjunto lo entenderemos como una "colección" de elementos que tienen una "propiedad" en común, es decir sin repetición, a lo que se le llama "elementos".

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La relación de Pertenencia indica cuando $x\in A$ ($x$ pertenece a $A$. Su negación es $x\notin A$).¹

La relación de Contención indica cuando … ²

El $card(A)$ o $\#A$ o $|A|$ representa el "número" de elementos que conforman a $A$.

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• Los conjuntos son expresados por extensión, cuando se hace la lista de todos sus elementos.
• Los conjuntos son expresados por comprensión, cuando sólo se le da la condición o característica que cumple. Usamos la notación $\{:\}$ para definirlos.

Ejemplo:

• Por extensión: $\{1,2,3,4\}$.
• Por comprensión: $\{x\in X:x$ tiene la propiedad $P\}$.
• $A=\{1,2,3,2,4,1\},B=\{1,2,3,4\},\equiv \{4,1,3,2\}⟹1\in A\wedge 1\in B$
• $A=\{x:P(x)\}$

Lo que está dentro de las llaves es la función proposicional cuantificada: ${\forall }_x\in \mathcal{U}:P(x)$.

Un ejemplo: $\{0,2,4,6\}=\{x\in \mathbb{N}:xespar\wedge x<7\}$ Dos conjuntos $A$ y $B$ son iguales ($A=B$) si todo elemento de $A$ es un elemento de $B$ y, todo elemento de $B$ es un elemento de $A$. Es decir, si tienes los mismos elementos. La negación de esto es $A\ne B$.

Otro ejemplo: ¿Qué tienen en común estos conjuntos?

• $\{n\in \mathbb{N}:1<n<2\}$
• $\{r\in \mathbb{R}:r^2<0\}$
• $\{q\in \mathbb{Q}:q<0\wedge q>7\}$
• $\{x\in \mathbb{R}:x^2+1=0\}$ Estos conjuntos son vacíos. El conjunto vacío es el conjunto que no tiene no tiene ningún elemento, y lo denotamos por $\varnothing =\{\}$.

Otro ejemplo: Dados dos conjuntos $A$ y $B$, decimos que $A$ es subconjunto de $B$ ($A\subset B$) si todo elemento de $A$ es un elemento de $B$.

Considere que $A=\{n\in \mathbb{N}:n(n-1)(n-2)=0\}$ y $B=\{0,1,2,3,4\}$…

$$\begin{array}{rlrlrl}¿A& \subset B?& ¿B& \subset A?& ¿A& =B?\end{array}$$

Entonces vemos que $A=\{0,1,2\}$… Entonces³:

$$\begin{array}{rlrlrl}A& \subset B,& B& \not\subset A,& A& \ne B.\end{array}$$

Subconjuntos

$(P(x)⟹Q(x))$ Definición: Sean $A$ y $B$ conjuntos cualesquiera. Decimos que $A$ está contenido (o incluído) en B si todo elemento de $A$ es un elemento de $B$. Esto lo demoramos así: $A\subseteq B$ que se lee ”$A$ contenido en $B$”, y su interpretación lógica es:

$A=\{x:P(x)\},B=\{x:Q(x)\}$ Es decir, que $A\subseteq B$ si y sólo si (sii) $P(x)⟹Q(x)$. Ahora, cómo lo interpretamos gráficamente? Con un diagrama de Venn:

Observación: El diagrama anterior sugiere que existen elementos en $B$ que no están en A, cuando esto ocurre, denotamos la contención estricta como $A\subset B$ que puede leerse cómo ”$A$ es subconjunto propio de $B$” o ”$A$ es propiamente contenido en $B$“. Si $A\subset B$, no hay chance a que los conjuntos sean “iguales”. O bien sii $P(x)⟺Q(x)$. Tal como se puede ver en el diagrama:

Un mejor ejemplo:

Sea $A=\{1,2,3\}$. Tomemos $B=\{1,2,3,4\}$ y $C=\{1,3\}$.

1. ¿ $A\subseteq B$? Si, pues ${\forall }_x\in A⟹x\in B$. Y más aún: $B⊈A$, en efecto para $4\in B,4\notin A$, así que podemos escribir $A\subset B$.
   1. Observación: No confundir la relación de Pertenencia con la relación de Contención.
2. $1\in A$? ($V$); $2\in C$? ($F$) $\{1\}\in A$? ($F$).
3. $\{1,3\}\in C$? ($F$. Porqué?)
   1. No está en $C$, ESTÁ CONTENIDO Por lo que si hacemos $\{1,3\}\subset C$ ahora resulta $V$.
   2. También podemos escribir $(1\in C)\wedge (3\in C)$, dado que 1 y 3 son elementos de C.
   3. Si de verdad fuese $\{1,3\}$ un elemento de $C$, $C$ sería como {{1,3} …}.
4. $A\in C$ ($F$).

El conjunto potencia

Podemos formar conjuntos cuyos elementos a su vez sean conjuntos. Por ejemplo: $A=\left\{\{1\},\{2,3\},\{1,3,6\}\right\}$ es un conjunto que tiene $|3|$ elementos. También podemos formar el conjunto $\{\varnothing \}$, que es un conjunto con $|0|$ elementos. Y podemos decir que: $\varnothing \in \{\varnothing \}$ pero $\varnothing \ne \{\varnothing \}$. ¿Cómo asi? ¿Puedo decir $1\in A$? No. ¿Puedo decir $\{1\}\in A$? Si.

Al conjunto formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado A, se le llama el conjunto potencia o conjunto de partes de $A$. Lo denotaremos como $P(A)$. $P(A):=\{B:B\subset A\}$

Observación: Es claro que $\varnothing \in P(A)$ y $A\in P(A)$. Para entenderlo mejor, un conjunto potencia siempre crece en escala exponencial. Ejemplo:

• $P(\varnothing )=\{\varnothing \}$ donde comparando, $2^0=1$
• $P(\{1\})=\{\varnothing ,\{1\}\}$ donde comparando, $2^1=2$
• $P(\{1,2\})=\{\varnothing ,\{1,2\},\{1\},\{2\}\}$ donde comparando, $2^2=4$
• $P(\{1,2,3\})=\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}\}$, donde comparando, $2^3=8$

Operaciones elementales entre conjuntos.

Recordemos que $A\cup B=\{x:x\in A\acute{o}x\in B\}$ y $A\cap B=\{x:x\in Ayx\in B\}$.

Observación: Para todo par de conjuntos A y B se cumple que⁴:

$$\begin{array}{c}A\cap B\subset A\\ A\subset A\cup B\end{array}\text{\hspace{1em}(1)(2)}$$

Dados dos conjuntos $A$ y $B$, la diferencia de $A$ menos $B$, denotada (en esta materia!!) por $A$ \ $B$, se define como:

$A\backslash B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$

La diferencia simétrica, denotada por $A△B$, se define por:

$A△B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$

En matemática, la teoría de conjuntos siempre la estudiamos restringida a un universo que puede ser $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ o $P(x)$ para algún conjunto $X$. El universo suele denotarse con $\mathcal{U}$⁵. Una vez prefijado el universo, podemos considerar la siguiente operación: $A^{\subset }=\mathcal{U}\backslash A$. Esta se conoce como el complemento de (en $\mathcal{U}$).

Ejemplo: Supongamos que: $\mathcal{U}=\mathbb{N}$, $A=\{2n:n\in \mathbb{N}\}$.

¿Cómo sería $A^{\subset }$ (complemento de $A$)? $A^{\subset }=\mathbb{N}\backslash A=\{2n+1:n\in \mathbb{N}\}$.

Usando operaciones con proposiciones.

Por ejemplo:

Proposición: $A\subset B$ y $B\subset C$ entonces A $\subset C$.

Sea $x\in A$, como $A\subset B$, se tiene que todo elemento de A es un elemento de B, por tanto $x\in B$. A su vez, $B\subset C$, por lo cual, todo elemento de $B$ es un elemento de $C$ y así $x\in C$. Cómo $x$ es arbitrario, tengo que $A\subset C$.

Otro ejemplo: Sean $A$ y $B$ conjuntos, demuestre que si, $A\subset B$, entonces $B^{\subset }\subset A^{\subset }$.

Sea $x\in A$, por hipótesis $A\subset B$ y en consecuencia $y\in B$.

Queremos demostrar que $B^{\subset }\subset A^{\subset }$, es decir $\forall x(x\in B^{\subset }\to x\in A^{\subset })$.

Sea $x\in B^{\subset }$ entonces $x\notin B(x\in \mathcal{U}\backslash B)$ como $A\subset B$ y $x\notin B$, entonces $x\notin A$.

Luego, $x\in A^{\subset }$. Cómo $x$ es el arbitrario, coincidimos que $B^{\subset }\subset A^{\subset }$.

Propiedades de las operaciones entre conjuntos.

1. Leyes conmutativas:
   1. $A\cup B\equiv B\cup A$
   2. $A\cap B\equiv B\cap A$
2. Leyes asociativas:
   1. $A\cup (B\cup C)\equiv (A\cup B)\cup C$
   2. $A\cap (B\cap C)\equiv (A\cap B)\cap C$
3. Leyes distributivas:
   1. $A\cup (B\cap C)\equiv (A\cup B)\cap (A\cup C)$
   2. $A\cap (B\cup C)\equiv (A\cap B)\cup (A\cap C)$
4. Leyes de Idempotencia:
   1. $A\cup A\equiv A$
   2. $A\cap A\equiv A$
5. Leyes de Identidad
   1. $A\cup \varnothing \equiv A$
   2. $A\cap \varnothing \equiv \varnothing$
   3. $A\cup \mathcal{U}\equiv \mathcal{U}$
   4. $A\cap \mathcal{U}\equiv A$
6. Leyes de DeMorgan
   1. $(A\cup B{)}^{\subset }\equiv A^{\subset }\cap B^{\subset }$
   2. $(A\cap B{)}^{\subset }\equiv A^{\subset }\cup B^{\subset }$
7. Otras leyes:
   1. $(A^{\subset }{)}^{\subset }\equiv A$
   2. $A\cap A^{\subset }\equiv \varnothing$
   3. $A\cup A^{\subset }\equiv \mathcal{U}$
   4. ${\mathcal{U}}^{\subset }\equiv \varnothing$
   5. ${\varnothing }^{\subset }\equiv \mathcal{U}$

Relaciones

• Dados dos conjuntos $A$,$B$. Una relación $R$ de $A$ en $B$ es un subconjunto del producto cartesiano de $(A\ast B)$, Es decir, $R\subset A\ast B$.

• Si $A=B$, decimos que $R\subset A\ast A$ es simplemente una relación sobre $A$.

• Recordemos que una relación $R$ sobre $A$ es:

  a) Reflexiva: Si $(a,b)\in R$ para todo $a\in A$.

  b) Simétrica: Si cada vez que $(a,b)\in R$ se tiene que $(b,a)\in R$.

  c) Transitiva: Si cada vez que $(a,b)\wedge (b,c)\in R$ se tiene que $(a,c)\in R$.

  d) Funcional: Si cada vez que $(a,b)\wedge (a,c)\in R$ se tiene que $b=c$.

  e) Antisimétrica: Si cada vez que $(a,b)\wedge (b,a)\in R$ se tiene que $a=b$.

Ejemplos

Ejemplo 1

Sea $x=\{1,2,3\}$, consideremos $A=P(x)$ y $R$ la relación dada por: $(a,b)\in R\equiv a\subset b$ Es $R$ reflexiva?

• Sabemos que $a\subset a$ para todo $a\in P(x)$.
• Por la cual $(a,a)\in R⟹R$ es reflexiva.

Es $R$ simétrica?

• No, dado que $P(\{1,2,3\})\to R=\{\varnothing ,\{\varnothing ,\{1\}\},\{\varnothing ,\{2\}\}...\{\{1\},\{1\}\},\{\{1\},\{1,2\}...\}$.
• Pues entonces $(\varnothing ,\{1\})\in R$, pero $(\{1\},\varnothing )$ no!

Es $R$ transitiva?

• Si, dado que $c$ es transitiva.

Es $R$ funcional?

• No, no es funcional porque tenemos $(\varnothing ,\{1\})\wedge (\varnothing ,\{2\})\in R$ pero $\{1\}\ne \{2\}$

Es $R$ antisimétrica?

• Si, es antisimétrica por definición de igualdad de conjunto.

Ejemplo 2

• $A=\{1,2,3,4\}$.
• $R=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(3,3),(4,4)\}$. Entonces:

Es $R$ reflexiva?

• Si, pues $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\in R$.

Es $R$ simétrica?

• No, dado que $(1,2)\in R$ pero $(2,1)\notin R$.

Es $R$ transitiva?

• Si, todas las combinaciones $(a,b)\wedge (b,c)$⁶ fueron probadas.

Es $R$ funcional?

• No es funcional pues $(1,2)y(1,3)\in R$ pero $2\ne 3$.

Es $R$ antisimétrica?

• No.

Relación de Orden

Sea $A$ un conjunto y $R$ una relación sobre $A$. $R$ es una relación de orden si $R$ es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Ejemplo 1:

$$\begin{array}{c}A=\mathbb{N}\\ R=\{(a,b):a\le b\}\\ R_1=\{(a,b):a<b\}\\ \delta \le 2\le 3\le 4...\end{array}\text{\hspace{1em}("parcial")("estricto")}$$

Ejemplo 2:

$$\begin{array}{c}x=\{1,2,3\};A=P(x)\\ R=\{(a,b):a\subset B\}\end{array}$$

Ejemplo 3: $A=\mathbb{B};R=\{(a,b):$ $a$ es un divisor de $b\}$.

Relación de Equivalencia

Una relación $R$ se dice que es una relación de equivalencia si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo 1

Sea:

• $A=\{$el conjunto de las rectas en el plano$\}$.
• $R=\{(a,b):a$ es paralela a $b\}$.
• $d_1=$ paralela $=$ máxima pendiente
• $d_1=$ paralela $=$ no se corta mutuo

En $d_1$:

Es $R$ reflexiva?

• Si, pues toda recta tiene la misma pendiente que si misma.

Es $R$ simétrica?

• Si es simetrica.

Es $R$ transitiva?

• Si.

Entonces $R$ es de equivalencia.

En $d_2$: $R$ no es reflexiva y por lo tanto no es de equivalencia.

Footnotes

1. Este es el gráfico de la relación de Pertenencia: ↩

2. Este es el gráfico de la relación de Contención: ↩

3. Para todo conjunto $A$ se cumple: $\varnothing \subset A$ y $A\subset A$. ↩

4. Si $A\cap B=\varnothing$, se dice que $A$ y $B$ son distintas. ↩

5. Puede ser un conjunto de los reales ($\mathbb{R}$), enteros ($\mathbb{E}$), naturales ($\mathbb{N}$) o simplemente puede ser un conjunto arbritario cualquiera. ↩

6. Las combinaciones se prueban de la siguiente manera: Supongamos que tenemos $(1,1)\wedge (1,2)$ en el conjunto. Entonces debemos de saber si $(a,b)\equiv (1,2)\in R$. ↩